なんで違うの…不思議な確率の問題を紹介！

実際の答えと感覚的な答えに違いが生まれるのはなぜだろう？

皆さんは確率についてどのような考えを持っていますか？
確率について結構苦手意識がある人も多いと思います。自分は大学受験当時、検算が難しく答えがあっているかどうか判断しにくいので結構嫌いでした……まぁ今現在もあまり得意ではないんですけど、そんな僕でも楽しめたお気に入りの問題があるのでいくつか紹介しようと思います。確率とか数学が嫌いな人も是非食わず嫌いせず最後まで読んでいただけると嬉しいです！

それではいってみましょう！

モンティホール問題

モンティホール問題は確率のパラドックスとして有名な問題です。ちなみにここでのパラドックスとは、”パッと見正しいと思えるが実は間違っている説”あるいは”パッと見間違っているが実は正しい説”のことを指します。この問題は1990年にニュース雑誌で取り上げられ有名になったものです。（実際にはもっと前に問題としては発表されている）当時の著名な博士も間違えたり、感覚との大きなギャップによりモンティホール問題は非常に大きな論争へと発展したという過去があります。

それでは実際の問題を見てみましょう！

問題

プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
ここでプレーヤーはドアを変更すべきだろうか？

引用：「モンティホール問題」（2021年2月23日 (火) 21:14  ）『ウィキペディア日本語版』。

皆さんどうでしょうか？新車の場所は最初の時点で決められておりA,B,Cどの扉を選んでも1/3の確率で当たるから扉を変更してもしなくても変わらない……ように思いますよね？実際自分も初めてこの問題を考えたときはそう結論付けちゃいました。でも”扉を変更した方がよい”が正解なのです！

解説

司会者が介入する前の状態では

・選んだ扉が正解の確率：1/3
・選ばれなかった扉に正解がある確率：2/3

であることは明白ですね。では扉が二つに絞られたときにそれぞれの扉が当たりである確率について考えてみましょう。

・変更しない：最初から変わらないので1/3
・扉を変更する：最初に選ばれなかった扉のどちらかにあたりがあれば司会者がはずれを消してくれるので必ず正解になる（収束する）→2/3

よって扉を変えた方が2倍もの確率で正解することができるのです。これでも少しわからない人は扉の数を増やして考えるとよいでしょう。例えば、100枚もの扉から1つ選ばせ司会者はハズレの残り98枚を開きます。その後扉を変えるかどうかというシチュエーションです。この場合直感的に変えたほうがよいってわかりますよね！最初に選ばれなかった扉が正解であるという確率（99/100）が一つの扉（最初に選ばれず司会者が最後まで残した扉）へ束ねられたのですから……

トランプの柄

問題

トランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し表を見ないで箱の中に入れた。残りのカードをよく切ってから3枚抜き出したら3枚ともダイアだった。箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか？

それぞれの柄が出る確率は1/4であるから1/4と答えたくなってしまいますが、引く順番というのを考えずに2、3、4番目にダイヤが出てさらに1番目にもダイヤが出る条件付き確率と考えることもできるので、分子13P4 / 52P4, 分母 13P3 / 52P3の分数を計算すれば答えとなります。（答え：10/49）

この問題の好きなところは事後の現象が過去の確立にも影響を与えるところです。こういった確率をベイズ確率もしくは主観確率とも呼ばれます。（モンティホール問題もベイズ確率の例題）

最後に

いかがだったでしょうか？
答えがわかればなんだと思えたかもしれませんが数学者でも間違えるのですから侮ってはいけません。こういった感覚と実際の数値とのギャップというのは色々なところで利用されてたりします。我々も数に騙されないよう常日頃から確率について考えるようにしてみてはいかがでしょうか。数学が苦手な人が少しでも興味をもってくれたら幸いです。

ということで最後まで読んでいただきありがとうございました！